Родился в Ногинске.
Учился в Ногинской средней школе № 1. С 1991 года занимался в школе дзюдо. Благодаря высокому уровню подготовки, стал чемпионом и призером первенств Московской области.
Весной 1998 пода призван в ВДВ. С июля этого года Андрей принимал участие в спецоперациях на территории Чеченской республики.
За героизм, проявленный при исполнении служебных обязанностей, Андрей Завьялкин дважды награжден медалью Маршала Г.К. Жукова.
5 января 2000 года в г. Грозный подразделение, в котором проходил службу Андрей, было блокировано боевиками. В ходе боя командир получил тяжелое ранение, и Андрей принял командование на себя. Будучи раненым в руку, Андрей Завьялкин не вышел из боя и вынес из зоны обстрела пятерых раненых товарищей. Погиб Андрей от пули снайпера, заслонив собою командира.
Указом Президента Российской Федерации № 622 от 11.04.2000 года Андрею Вячеславовичу Завьялкину присвоено звание Героя России (посмертно).
В феврале 2001 года по инициативе Всероссийског общественного движения ветеранов локальных войн и военных конфликтов "Боевое братство" (президент - губернатор Московской области Герой Советского Союза Б.В. Громов), ДЮСШ Управления народного образования и Отдела по делам молодежи Администрации Ногинского района был проведен первый открытый турнир по дзюдо памяти Героя России Андрея Завьялкина. Сегодня этот турнир стал традиционным.